Considérons un groupe de Coxeter $W$ affine, agissant par isométries sur l’espace euclidien $\mathbb{R^n}$ , ainsi que l’arrangement des hyperplans de ses réflexions. Le complémentaire $Y_W$ du complexifié de cet arrangement dans $\mathbb{C^n}$, quotienté par $W$, a pour groupe fondamental le groupe d’Artin affine $G_W$ associé à $W$. La conjecture du $K(\pi,1)$ affirme dans ce cas que l’espace $Y_W$ est un espace classifiant pour $G_W$ . Elle a été démontrée récemment par Paolini et Salvetti, en s’appuyant sur les travaux de McCammond et Sulway. Nous présenterons des ingrédients de la preuve, qui repose notamment sur l’étude des structures de Garside duales pour les groupes d’Artin affines, les factorisations des isométries euclidiennes et la décortiquabilité des partitions non croisées affines. Une conséquence est que les groupes d’Artin affines, ainsi que les groupes crystallographiques tressés, ont un espace classifiant fini.

[D'après Giovanni Paolini, Mario Salvetti]