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Volumes des ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien

By Maxime Ingremeau

Appears in collection : Bourbaki - 25 janvier 2020

Nous présenterons les travaux récents de Logunov et Malinnikova sur la conjecture de Yau. Celle-ci affirme que, sur une variété Riemannienne compacte (X,g) de dimension d, le lieu d’annulation d’une fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami de valeur propre λ possède une mesure de Hausdorff (d−1)-dimensionnelle comprise entre c√λ et C√λ, où c et C sont des constantes ne dépendant que de la variété (X,g). Cette conjecture a été prouvée lorsque (X,g) est une variété analytique par Donnelly et Feffermann. Lorsque (X,g) est une surface non analytique, la borne inférieure a été obtenue par Brüning, tandis que Donnelly et Feffermann ont montré une borne supérieure en λ3/4. Toutefois, sur une variété non-analytique de dimension ≥3, les résultats connus étaient beaucoup moins précis : les meilleurs bornes inférieures disponibles ne tendaient pas vers l'infini quand λ→+∞, et les meilleures bornes supérieures (obtenues par Hardt et Simon) croissaient exponentiellement avec λ. En introduisant des arguments de nature combinatoire, Logunov et Malinnikova ont montré la borne inférieure de la conjecture en toute dimension, et ont obtenu des bornes supérieures polynomiales.

Information about the video

  • Date of recording 1/25/20
  • Date of publication 1/27/20
  • Institution IHP
  • Format MP4

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