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Transition de phase abrupte en percolation via des algorithmes randomisés, d’après Duminil-Copin, Raoufi et Tassion

By Marie Théret

Appears in collection : Bourbaki - 15 juin 2019

Le modèle de percolation classique est le suivant : pour un paramètre p ∈ [0, 1] fixé, chaque arête du graphe Zd est conservée (resp. supprimée) avec probabilité p (resp. 1 –p), indépendamment des autres. Il présente une transition de phase à un paramètre pc : si p pc alors p.s. toutes les composantes connexes sont bornées, tandis que si p pc alors p.s. il existe une unique composante connexe infinie. Cette transition de phase est abrupte, au sens où pour p pc, la probabilité que l’origine du graphe soit reliée à un point à distance n décroît vers 0 exponentiellement vite en n. Ce résultat fondamental est connu depuis les années 80 grâce aux travaux de Menshikov et d’Aizenman et Barsky. Dans cet exposé, nous présenterons une nouvelle preuve proposée par Duminil-Copin, Raoufi et Tassion et qui utilise des arbres de décisions. Leur approche est très robuste et peut s’adapter à de nombreuses variantes du modèle dans lesquelles le caractère abrupt de la transition de phase n’était pas encore prouvé.

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